Question

3．我们曾经通过列表、画图象，研究了函数y=ax²（a≠0）的性质，知道它的图象是一条抛物线，通过图象还研究了它的相关性质；经过平移函数y=ax²（a≠0）的图象还可得到函数y=a（x-h）²+k，（a≠0）的图象．用类似的方法还可研究其他函数的有关性质．
下面请你通过类比，尝试研究一下函数y=$\frac{1}{2}$x³的性质：
（1）完成下表：

x	…	-2	-1		0		1	2	…
y	…				0			4	…

（2）在所给坐标系中作出函数y=$\frac{1}{2}$x³的图象；
（3）观察你画的函数y=$\frac{1}{2}$x³的图象，回答下列问题：
①函数y=$\frac{1}{2}$x³图象的对称性下列说法正确的是C．
A．关于x轴对称  B．关于y轴对称
C．关于原点对称  D．既不是轴对称也不是中心对称
②随x的增大，y有怎样的变化？
③y是否有最大或最小值？
④将函数y=$\frac{1}{2}$x³的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位．可得到怎样的函数表达式，请直接将你的猜想写出来？

Answer 1

分析 （1）利用已知函数解析式进而计算得出答案；
（2）利用（1）中所求数据描点连线即可；
（3）①利用函数图象即可得出对称性；
②利用函数图象得出增减性；
③利用函数图象得出有没有最值；
④利用函数平移的性质，左加右减，上加下减即可得出答案．

解答 解：（1）填表如下：

x	…	-2	-1	-$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	2	…
y	…	-4	-$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{16}$	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{2}$	4	…

（2）函数$y=\frac{1}{2}{x^3}$的图象如图；

（3）①如图所示：函数y=$\frac{1}{2}$x³图象关于原点对称，
故答案为：C；

②如图所示：y随x的增大而增大；

③如图所示：y既没有最大值也没有最小值；

④将函数$y=\frac{1}{2}{x^3}$的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位可得到：$y=\frac{1}{2}{（{x+1}）^3}+2$．

点评 此题主要考查了函数问题综合以及函数增减性以及其对称性、最值平移规律等知识，结合已知函数解析式画出图象是解题关键．