Question

6．以原点为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0），动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设经过的时间为t（t＞0）秒．
（1）如图一，当t=1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，求此时点Q的运动速度（结果保留π）．
（2）若点Q按照（1）中速度完成整个过程，请问t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？（请直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

分析 （1）连接OQ，根据切线的性质得到∠OQP=90°，根据直角三角形的性质得到∠P的度数，求出∠BOQ，根据弧长公式求出$\widehat{BQ}$的长，计算即可；
（2）分B与Q重合、B与C重合和Q在第一、第四象限，根据切线的性质和弧长公式计算即可．

解答 解：（1）如图一，连接OQ，
∵直线PQ与⊙O相切，
∴∠OQP=90°，
∵点P的坐标为（2，0），
∴OP=2，又OQ=1，
∴∠OPQ=30°，
∴∠QOP=60°，
∴∠BOQ=30°，
∴$\widehat{BQ}$的长为$\frac{30π×1}{180}$=$\frac{π}{6}$，又t=1，
∴点Q的运动速度为$\frac{π}{6}$；
（2）如图一，当Q与B重合，即t=0时，∠QOP=90°，
当Q与C重合，即t=$\frac{π×1}{\frac{π}{6}}$=6时，∠QOP=90°，
由（1）得，t=1时，直线PQ与⊙O相切，∠OQP=90°，
如图二，直线PQ与⊙O相切时，∠OQP=90°，
由切线长定理可知，∠OPQ=30°，
则∠POQ=60°，
∴∠BOQ=150°，
∴$\widehat{BQ}$的长为$\frac{150π×1}{180}$=$\frac{5}{6}$π，
t=$\frac{5}{6}$π÷$\frac{π}{6}$=5，
综上所述，t=0或t=6或t=1或t=5时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形．

点评 本题考查的是切线的性质、弧长的计算以及直角三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、灵活运用弧长的计算公式是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．