Question

8．如图，△ACD是等边三角形，AE⊥CD于E，AB⊥AC，AC=AB，AE、BD相交于O．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：BC=2OD．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形和等腰直角三角形的性质得到∠DAB=150°AD=AC=AB，于是得到结论；
（2）由（1）的结论进而得出∠EDO=45°，即可得出△DEO是等腰直角三角形，求得AC=2ED，进而求得BC=2OD．

解答 解：（1）∵△ACD为等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=AC=AD=AB，∠ADC=∠DAC=60°，∠CAB=90°，
∴∠BAD=150°，△ABD是等腰三角形，
∴∠ADB=15°；

（2）由（1）知∠ADB=15°，
∴∠EDO=45°，
又∵在等边三角形ACD中，AD=AC，AE⊥CD，
∴ED=$\frac{1}{2}$CD，且∠DEO=90°，
∴△DEO是等腰直角三角形，ED=$\frac{1}{2}$AC，
∴△DEO∽△BAC，
∴$\frac{BC}{OD}=\frac{AC}{DE}=2$．
∴BC=2OD．

点评 本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．