Question

1．已知：如图，在△ABC中．∠BCA=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE．求证：BE=$\frac{1}{2}$AD．

Answer 1

分析 分别延长AC、BE，它们交于F点，由AE平分∠CAB，AE⊥BE，得到△ABF为等腰三角形，BF=2BE；易证得Rt△ACD≌Rt△BCF，则根据全等三角形的性质，AD=BF，即可得到结论．

解答 证明：分别延长AC、BE，它们交于F点，如图：

∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴△ABF为等腰三角形，BF=2BE，
∵∠ACB=∠AEB=90°，∠ADC=∠EDB，
∴∠2=∠3，
在Rt△ACD与Rt△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{∠ACD=∠BCF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△BCF，
∴AD=BF，
∴BE=$\frac{1}{2}$AD

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质．特别是底边上的高，中线和顶角的角平分线合一．也考查了三角形全等的判定与性质．