Question

10．如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0），C（4，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先求得B的坐标则AB的长即可求得，根据AB是腰，即可求得P的坐标．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=-x²+5x-4；
（2）在y=-x²+5x-4中，令x=0，解得y=-4，
则B的坐标是（0，-4）．
则AB=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
当A是等腰三角形的顶角顶点时，AP=AB，此时P与B关于x轴对称，则坐标是（0，4）；
当B是等腰三角新的顶点时，BP=BA，则OP=$\sqrt{17}$-4，P的坐标是（0，$\sqrt{17}$-4）．
总之，P的坐标是（0，$\sqrt{17}$-4）或（0，4）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，正确进行讨论是关键．