Question

13．已知△ABC与△DEF都是正三角形，BC与EF的中点都是M．求证：AD⊥CF．

Answer 1

分析 连接AM，DM，延长AD交CF于点G，由于△ABC和△DEF均为正三角形，BC和EF的中点均为M，于是得到AM⊥BC，DM⊥EF，AM=$\sqrt{3}$CM，DM=$\sqrt{3}$FM，推出△AMD∽△CMF，得到∠MAD=∠MCF，由∠MAD+∠DAC+∠ACM=90°，于是得到∠MCF+∠DAC+∠ACM=90°，即可得到结论．

解答 证明：连接AM，DM，延长AD交CF于点G，
∵△ABC和△DEF均为正三角形，BC和EF的中点均为M，
∴AM⊥BC，DM⊥EF，AM=$\sqrt{3}$CM，DM=$\sqrt{3}$FM，
∴∠AMC=∠DMF=90°，
∴∠AMD=∠CMF，AM：DM=CM：FM，
∴△AMD∽△CMF，
∴∠MAD=∠MCF，
∵∠MAD+∠DAC+∠ACM=90°，
∴∠MCF+∠DAC+∠ACM=90°，
∴∠AGC=90°，
∴AD⊥CF．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．