Question

14．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．
（1）如图1，求证：AE⊥BF；
（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可证明AE⊥BF；
（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的关系求出QF=QB，设设QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．

解答 （1）证明：
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：
∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，
∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，
∴QB=x，PQ=x-2，
在Rt△BPQ中，
∴x²=（x-2）²+4²，
解得：x=5，
即QF=5．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．