Question

7．已知关于x的方程mx²+（3m+2）x+4m=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂．那么m的取值范围是-$\frac{1}{4}$＜m＜0．

Answer 1

分析 由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出△=-7m²+12m+4＞0，解之可得出m的取值范围，令y=mx²+（3m+2）x+4m，分m＞0和m＜0两种情况有x=1时y＜0和y＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之结合-$\frac{2}{7}$＜m＜2，即可得出结论．

解答 解：∵关于x的方程mx²+（3m+2）x+4m=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，
∴△=（3m+2）²-16m²=-7m²+12m+4＞0，
解得：-$\frac{2}{7}$＜m＜2．
令y=mx²+（3m+2）x+4m．
当m＞0时，m+3m+2+4m＜0，
解得：m＜-$\frac{1}{4}$（舍去）；
当m＜0时，m+3m+2+4m＞0，
解得：m＞-$\frac{1}{4}$．
∵-$\frac{1}{4}$＞-$\frac{2}{7}$，
∴m的取值范围是-$\frac{1}{4}$＜m＜0．
故答案为：-$\frac{1}{4}$＜m＜0．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及抛物线与x轴的交点，将求方程解的情况转化为抛物线与x轴交点的情况，利用数形结合解决问题是解题的关键．