Question

12．在等腰直角三角形△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥AB交AB于点F，点D在AC上，连接BD，交CF于点G，过点C作BD的垂线交BD于点H，交AB于点E．
（1）如图一，∠ABD=∠CBD，CG=1，求AB；
（2）如图二，连接AH，FH，若∠AHF=90°，求证：HB=$\sqrt{2}$AH．

Answer 1

分析 （1）如图一中，连接DE．由△BDC≌△BDE，推出CD=DE，∠DEB=∠DCB=90°，再证明∠CDG=∠CGD，推出CG=CD=DE=1，推出AD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$+1，即可推出AB=$\sqrt{2}$AC=2+$\sqrt{2}$；
（2）如图二中，作AM⊥CE于M．首先证明△AMH是等腰直角三角形，推出AM=MH，再证明△ACM≌△CBH，推出BH=CM，CH=AM=HM，即可证明BH=2AM=$\sqrt{2}$AH；

解答 （1）解：如图一中，连接DE．

∵CE⊥BD，
∴∠BHC=∠BHE=90°，∵BH=BH，∠HBC=∠HBE，
∴△BHC≌△BHE，
∴BE=BC，∵∠DBC=∠DBE，BD=BD，
∴△BDC≌△BDE，
∴CD=DE，∠DEB=∠DCB=90°，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CF⊥⊥AB，
∴∠A=∠BCF=45°，
∵∠CDB=∠A+∠ABD，∠CGD=∠BCG+∠CBD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CG=CD=DE=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$+1，
AB═$\sqrt{2}$AC=2+$\sqrt{2}$．

（2）证明：如图二中，作AM⊥CE于M．

∵∠EFC=∠EHB=90°，∠BEH=∠CEF，
∴△BHE∽△CFE，
∴$\frac{EH}{EF}$=$\frac{EB}{CE}$，
∴$\frac{EH}{EB}$=$\frac{EF}{EC}$，
∴△EHF∽△EBC，
∴∠EHF=∠EBC=45°，
∵∠AHF=90°，
∴∠AHM=45°，
∵∠AMH=90°，
∴△AMH是等腰直角三角形，
∴AM=MH，
∵AC=BC，∠ACM=∠CBH，∠AMC=∠BHC=90°，
∴△ACM≌△CBH，
∴BH=CM，CH=AM=HM，
∴BH=2AM=$\sqrt{2}$AH．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．