Question

17．如图，点A₁，A₂在射线OA上，B₁在射线OB上，依次作A₂B₂∥A₁B₁，A₃B₂∥A₂B₁，A₃B₃∥A₂B₂，A₄B₃∥A₃B₂，…．若△A₂B₁B₂和△A₃B₂B₃的面积分别为1、9，则△A₁₀₀₇B₁₀₀₇A₁₀₀₈的面积是3²⁰¹¹．

Answer 1

分析 根据面积比等于相似比的平方，从而可推出相邻两个三角形的相似比为1：3，面积比为1：9，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个三角形的面积，再根据规律即可解决问题．

解答 解：∵△A₂B₁B₂和△A₃B₂B₃的面积分别为1、9，A₃B₃∥A₂B₂，A₃B₂∥A₂B₁，
∴∠B₁B₂A₂=∠B₂B₃A₃，∠A₂B₁B₂=∠A₃B₂B₃，
∴△A₂B₁B₂∽△A₃B₂B₃，
∴$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{{A}_{3}{B}_{2}}$=$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{{B}_{2}{B}_{3}}$=$\frac{{A}_{2}{B}_{2}}{{A}_{3}{B}_{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
∵A₃B₂∥A₂B₁，
∴△OA₂B₁∽△OA₃B₂，
∴$\frac{O{B}_{1}}{O{B}_{2}}$=$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{{A}_{3}{B}_{2}}$=$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴△OB₁A₂的面积为$\frac{1}{2}$，△A₁B₁A₂的面积为$\frac{1}{3}$，△A₂B₂A₃的面积为3，△A₃B₃A₄的面积为27，…
∴△A₁₀₀₇B₁₀₀₇A₁₀₀₈的面积为$\frac{1}{3}$×3^{2（1007-1）}=3²⁰¹¹，
故答案为3²⁰¹¹．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．