Question

16．已知：过点A（3，0）直线l₁：y=x+b与直线l₂：y=-2x交于点B．抛物线y=ax²+bx+c的顶点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y=ax²+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；
（3）直线x=-1分别与直线l₁，l₂交于C，D两点，当抛物线y=ax²+bx+c与线段CD有交点时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入直线l₁，求出其函数表达式，联立直线l₁、l₂表达式成方程组，解方程组即可得出点B的坐标；
（2）设抛物线y=ax²+bx+c的顶点式为y=a（x-h）²+k，由抛物线的顶点坐标即可得出y=a（x-1）²-2，再根据点C的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（3）根据两直线相交，求出点C、D的坐标，将其分别代入y=a（x-1）²-2中求出a的值，由此即可得出抛物线y=ax²+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围．

解答 解：（1）将A（3，0）代入直线l₁：y=x+b中，
0=3+b，解得：b=-3，
∴直线l₁：y=x-3．
联立直线l₁、l₂表达式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-2x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（1，-2）．
（2）设抛物线y=ax²+bx+c的顶点式为y=a（x-h）²+k，
∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点为B（1，-2），
∴y=a（x-1）²-2，
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A，
∴a（3-1）²-2=0，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的表达式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2．
（3）∵直线x=-1分别与直线l₁，l₂交于C、D两点，
∴C、D两点的坐标分别为（-1，-4），（-1，2），
当抛物线y=ax²+bx+c过点C时，a（-1-1）²-2=-4，
解得：a=-$\frac{1}{2}$；
当抛物线y=ax²+bx+c过点D时，a（-1-1）²-2=2，
解得：a=1．
∴当抛物线y=ax²+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围为-$\frac{1}{2}$≤a≤1且a≠0．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、两直线相交与平行、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的三种形式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线l₁的表达式；（2）将二次函数一般式改写为顶点式；（3）分别带人C、D点的坐标求出a值．