Question

11．善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
【问题一】平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似？
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）
【问题二】平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究，梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点PQ在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由．
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定存在（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似？若存在，则确定这条平行线位置的条件是$\frac{AP}{PB}$=$\frac{\sqrt{ab}}{b}$（设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．用含a、b的式子表示 ）．

Answer 1

分析 问题一：（1）根据两个梯形相似，因而两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等；这个图形中判定相似要同时满足这几个条件．反之，若相似则两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等判断即可；
（2）根据两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等判断即可；
问题二：（1）根据两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等判断即可；
（2）假设梯形APQD与梯形PBCQ相似，于是得到$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，即$\frac{2}{PQ}$=$\frac{PQ}{8}$得到PQ=4．由于$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．得到AP=2，PB=4，根据$\frac{DQ}{QC}=\frac{1}{2}$，CD=4，得到$DQ=\frac{4}{3}，QC=\frac{8}{3}$，于是得到$\frac{AD}{PQ}=\frac{PQ}{BC}=\frac{PA}{PB}=\frac{DQ}{QC}$，由于两梯形中对应角相等，于是得到结论；
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，得到$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$，代入即可得到结果．

解答 解：问题一：（1）两个梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而这两个梯形一定不相似；
（2）不相似，
故答案为：不相似；

问题二：（1）不相似；
故答案为：不相似；
（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，
∴$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，即$\frac{2}{PQ}$=$\frac{PQ}{8}$
解得：PQ=4．
∵$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
又∵AP+PB=6，
∴AP=2，PB=4，
∵$\frac{DQ}{QC}=\frac{1}{2}$，CD=4，
∴$DQ=\frac{4}{3}，QC=\frac{8}{3}$，
∴$\frac{AD}{PQ}=\frac{PQ}{BC}=\frac{PA}{PB}=\frac{DQ}{QC}$，
又∵两梯形中对应角相等，
∴梯形APQD相似于梯形PBCQ；
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
则$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$，
∵AD=a，BC=b，
∴PQ=$\sqrt{AD•BC}$=$\sqrt{ab}$，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{a}{\sqrt{ab}}$=$\frac{\sqrt{ab}}{b}$．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，梯形相似的判定和性质，勾股定理，相似梯形的性质是：对应角相等，对应边的比相等，反之，相似图形的判定方法是对应角相等，对应边的比相等，熟练掌握相似梯形的判定和性质定理是解题的关键．