题目内容

19．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E．求证：四边形OCED是菱形．

分析 由DE∥AC，EC∥BD，易得四边形OCED是平行四边形，又矩形的对角线相等且平分，可得OC=OD，则四边形OCED是菱形．

解答 证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OD=OC，
∴四边形OCDE是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的判定，掌握基本的性质与判定是解决问题的关键．

练习册系列答案
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9．如图，a∥b，∠1+∠2=70°，则∠3+∠4=110°．
10．一个数的平方是4，那么这个数是-2，2．
7．如果点Q（a，b），且ab=0，那么点Q所在的位置是（　　）
A．在第一象限B．在x轴或y轴上C．在x轴上D．在y轴上
14．如图，已知AC平分∠DAB，∠1=∠2，∠D=126°，求∠DAB的度数．
4．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（m，2）的双曲线y=$\frac{k}{x}$，且AB与x轴垂直交于点B，且S△AOB=4，则m+k的值是±12．
11．善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
【问题一】平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似？
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）
【问题二】平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究，梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点PQ在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由．
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定存在（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似？若存在，则确定这条平行线位置的条件是$\frac{AP}{PB}$=$\frac{\sqrt{ab}}{b}$（设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．用含a、b的式子表示 ）．
8．问题情境：
在△ABC中，∠B=∠C=50°，点D是BC的中点，以D为顶点作∠MDN=50°
（1）如图1，射线DN经过点A，DM交AC边于点E，不添加辅助线，请直接写出图1中所有与△ADE相似的三角形．
操作探究：
（2）如图2，将（1）中的∠MDN从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转，射线DM、DN分别交线段AC，AB于点E，F（点E与点A不重合，旋转角小于50°），试说明△BFD∽△CDE；
拓展应用：
（3）小颖在解决上述问题后发现图2中的△DEF与△BDF相似．
①请你帮她证明这一结论；
②当（2）中的旋转角为多少度时，△DEF与△ABC相似？（直接回答即可）
9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为6．

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