Question

3．如图，已知直线的函数表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．
（1）求点A、B的坐标．
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B坐标即可；
（2）由AO与BO的长，利用勾股定理求出AB的长，根据移动时间为t，表示出AP与AQ，分两种情况考虑：①由∠QAP=∠BAO，得到当$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$时，△APQ∽△AOB；②由∠QAP=∠BAO，当$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$时，△AQP∽△AOB，分别求出Q坐标即可．

解答 解：（1）由y=-$\frac{4}{3}$x+8，
令x=0，得到y=8；由y=0，得到x=6，
则A（6，0），B（0，8）；
（2）由BO=8，AO=6，得到AB=10，
当移动时间为t时，AP=t，AQ=10-2t，
①如图1所示，

∵∠QAP=∠BAO，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$时，△APQ∽△AOB，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$（秒），
此时OP=6-$\frac{30}{11}$=$\frac{36}{11}$，且OP⊥OA，
∴Q点的横坐标为$\frac{36}{11}$，
代入y=-$\frac{4}{3}$x+8得：y=$\frac{40}{11}$，即Q（$\frac{36}{11}$，$\frac{40}{11}$）；
②如图2所示，

∵∠QAP=∠BAO，
∴当$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$时，△AQP∽△AOB，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$（秒），
此时PA=$\frac{50}{13}$，BQ=$\frac{100}{13}$，OP=$\frac{28}{13}$，即P（$\frac{28}{13}$，0），
设Q点坐标为（x，y），则有$\frac{x}{OA}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{\frac{100}{13}}{10}$，
解得：x=$\frac{60}{13}$，
把x=$\frac{60}{13}$代入得：y=$\frac{24}{13}$，此时Q（$\frac{60}{13}$，$\frac{24}{13}$）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．