Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，O为AB上一点，以O为圆心，AO为半径的⊙O与AB交于点F，与BC交于点E．连接AE，AE平分∠BAD．
（1）求证：BC与⊙O相切于点E；
（2）若AB=10，BC=16，求⊙O的半径；
（3）若AD与⊙O的交点为△ABC的重心，则$\frac{△ABE的面积}{△ABC的面积}$的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用OA=OE得出∠AEO=∠OAE，再由角平分线得出∠BAE=∠DAE，即得出OE∥AD即可；
（2）先求出BD=8，再用勾股定理求出AD=6，进而用角平分线定理即可得出BE=5，最后用相似三角形的性质得出结论；
（3）先用切割线定理得出DE，进而用勾股定理得出AE，∠BAE=30°，即可得出BE=AE，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接OE，
∴OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEO=∠DAE，
∴OE∥AD，
在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴OE⊥BC，
∵点E在⊙O上，
∴BC与⊙O相切于点E；
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=8，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=6，
∵AE平分∠BAD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{ED}{BE}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴DE=$\frac{3}{5}$BE，
∵BD=BE+DE=8，
∴BE+$\frac{3}{5}$BE=8，
∴BE=5，
由（1）知，OE∥AD，
∴△OBE∽△ABD，
∴$\frac{OE}{AD}=\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{OE}{6}=\frac{5}{8}$，
∴OE=$\frac{15}{4}$，
∴⊙O的半径为$\frac{15}{4}$；
（3）如图2，记AD与⊙O的交点为△ABC的重心为G，
设DG=x，
∴AD=3x，
∵DE是⊙O的切线，根据切割线定理得，DE²=DG•AD=x•3x=3x²，
∴DE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ADE中，AD=3x，DE=$\sqrt{3}$x，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAE=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAE=2∠DAE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴∠ABE=90°-∠BAD=90°-2∠ADE=30°=∠BAE，
∴BE=AE=2$\sqrt{3}$x，BC=2BD=2（BE+DE）=2（2$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$x）=6$\sqrt{3}$x
∴$\frac{△ABE的面积}{△ABC的面积}$=$\frac{\frac{1}{2}BE•AD}{\frac{1}{2}BC•AD}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{6\sqrt{3}x}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等腰三角形的中线，勾股定理，角平分线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，解答（1）的关键是得出OE∥AD，解答（2）的关键是利用角平分线定理求出BE，解答（3）的关键是求出∠BAE=30°是解本题的关键．