题目内容
某公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系如下表：
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y1=
t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2=-
t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）求Q（件）与时间t（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
| 时间（天） | 1 | 3 | 6 | 10 | 36 | … |
| 日销售量（件） | 94 | 90 | 84 | 76 | 24 | … |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（1）求Q（件）与时间t（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
考点：二次函数的应用
专题：
分析：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．
解答：解：（1）设一次函数为y=kt+b，
将（30，36）和（10，76）代入一次函数y=kt+b中，
有
，
解得：
．
故所求函数解析式为y=-2t+96；
（2）设销售利润为W，
则W=
配方得W=
当1≤t≤20，t=14时W最大=578，
当21≤t≤40时，W随x增大而减小，故当t=21时，W最大=513，
综上知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元．
（3）由题意得：W=(-2t+96)(
t+5-a)(1≤t≤20)
配方得：W=-
[t-2(a+7)]2+2(a-17)2(1≤t≤20)
要使日销售利润随时间t增大而增大，则要求对称轴x=2（a+7）≥20解得x≥3；
又题目要求a＜4，
故3≤a＜4．
将（30，36）和（10，76）代入一次函数y=kt+b中，
有
|
解得：
|
故所求函数解析式为y=-2t+96；
（2）设销售利润为W，
则W=
|
配方得W=
|
当1≤t≤20，t=14时W最大=578，
当21≤t≤40时，W随x增大而减小，故当t=21时，W最大=513，
综上知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元．
（3）由题意得：W=(-2t+96)(
| 1 |
| 4 |
配方得：W=-
| 1 |
| 2 |
要使日销售利润随时间t增大而增大，则要求对称轴x=2（a+7）≥20解得x≥3；
又题目要求a＜4，
故3≤a＜4．
点评：此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
练习册系列答案
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