Question

18．如图，抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）当水面下降1rm，请求出此时水面的宽度是多少？
（3）设当水面宽为w，此时拱顶离水面h，请求出w与h的数量关系式．

Answer 1

分析 （1）以AB所在直线为x轴、AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，由图可得顶点C的坐标；
（2）设顶点式y=ax²+2，将A（-2，0）代入求得函数解析式，继而可求得y=-1时x的值，从而得出答案；
（3）根据题意可知，根据x=$\frac{1}{2}$w时，拱顶离水面h=2-y可得答案．

解答 解：（1）如图，以AB所在直线为x轴、AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

则抛物线顶点C坐标为（0，2）；

（2）设顶点式y=ax²+2，代入A点坐标（-2，0），
得出：a=-0.5，
∴抛物线解析式为y=-0.5x²+2，
当y=-1时，-0.5x²+2=-1，
解得：x=-$\sqrt{6}$或x=$\sqrt{6}$，
∴当水面下降1m，此时水面的宽度是2$\sqrt{6}$m；

（3）根据题意，当x=$\frac{1}{2}$w时，y=-0.5×（$\frac{1}{2}$w）²+2=-$\frac{1}{8}$w²+2，
∴此时拱顶离水面h=2-y=2-（-$\frac{1}{8}$w²+2）=$\frac{1}{8}$w²．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意建立合适的平面直角坐标系是解题的根本，理解题意将实际问题转化为二次函数的问题求解是解题的关键．