Question

8．如图，⊙E的圆心在⊙O上，⊙E交⊙O于A、B两点，⊙O的弦CE所在直线交⊙E于点D、H，CB的延长线交⊙E于点F．
（1）求证：点D是△ABC的内心；
（2）求$\frac{AG}{BF}$．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥AG于M，EN⊥BF与N，连结EA、EB、AD、EF，EG，如图，利用垂径定理得到AM=MG，BN=FN，先利用圆周角定理得到∠ACE=∠BCE，再根据角平分线性质得EM=EN，接着证明Rt△AEM≌Rt△FEN得到AM=FN，∠EAM=∠EFC，然后证明∠DAG=∠DAB得到AD平分∠BAC，于是根据内心的定义即可得到结论；
（2）由（1）AG=BF进行计算即可．

解答 （1）证明：作EM⊥AG于M，EN⊥BF与N，连结EA、EB、AD、EF，EG，如图，则AM=MG，BN=FN，
∵EA=EB，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠ACE=∠BCE，
∴EM=EN，
在Rt△AEM和Rt△FEN中
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EF}\\{EM=EN}\end{array}\right.$
∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
∴AM=FN，∠EAM=∠EFC，
∴AG=BF，
∴∠AEG=∠FEB，
∵∠ACE=∠FCE，∠CAE=∠CFE，
∴∠CEA=∠CEF，
∴∠CEG=∠CEB，
∴∠DAG=∠DAB，
∴AD平分∠BAC，
∵CD平分∠ACB，
∴点D是△ABC的内心；
（2）由（1）得AG=BF，
∴$\frac{AG}{BF}$=1．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理、角平分线的性质和三角形全等的判定与性质．