题目内容
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某数学兴趣小组的同学再一次探究中发现：若平面直角坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），则线段AB的中点C的坐标为（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$）．经过进一步的讨论，他们呢借助中位线和一次函数的知识证明了这一结论，请你使用该结论解答下面问题．（1）若平面直角坐标系中有两点D（5，2）和E（-1，-4），则线段DE的中点F的坐标为（2，-1）；
（2）如图，点M是双曲线y=$\frac{8}{x}$在第一象限内的分支上的一点，点K的坐标为（6，0），线段MK的中点N也在这一分支上，则点M的坐标为（2，4），点N的坐标为（4，2）；
（3）在（2）的条件下，设点P为x轴上的一点，点Q为直线y=-2x上一点，若以M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求点P和点Q的坐标．
分析 （1）直接根据中点坐标公式即可得出结论；
（2）设M（x，$\frac{8}{x}$），根据中点坐标公式用x表示出N点坐标，再根据点N在双曲线上可得出x的值，进而得出M、N两点的坐标；
（3）设P（a，0），Q（x，-2x），再分MN是平行四边形的对角线与MP是平行四边形的对角线两种情况进行讨论．
解答 解：（1）∵D（5，2）和E（-1，-4），
∴线段DE的中点F的坐标为（$\frac{5-1}{2}$，$\frac{2-4}{2}$），即F（2，-1）．
故答案为（2，-1）；
（2）∵点M在双曲线y=$\frac{8}{x}$上，
∴设M（x，$\frac{8}{x}$）．
∵点K的坐标为（6，0），点N是线段MK的中点，
∴N（$\frac{x+6}{2}$，$\frac{4}{x}$）．
∵点N也在双曲线y=$\frac{8}{x}$上，
∴$\frac{4}{x}$=$\frac{8}{\frac{x+6}{2}}$，解得x=2，
∴M（2，4），N（4，2）．
故答案为：（2，4），（4，2）；
（3）设P（a，0），Q（x，-2x），
当MN是平行四边形的对角线时，
∵M（2，4），N（4，2），
∴2+4=a+x，4+2=-2x，解得x=-3，a=9，
∴P（9，0），Q（-3，6）；
当MP是平行四边形的对角线时，
2+a=4+x，4=-2x+2，解得x=-1，a=1，
∴P（1，0），Q（-1，2）．
当NP为对角线时，易知P（-1，0），Q（1，-2）
综上所述，点P和点Q的坐标为P（9，0），Q（-3，6）或P（1，0），Q（-1，2）或（-1，0），Q（1，-2）．
点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及平行四边形的判定等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
同步奥数系列答案
如图，⊙E的圆心在⊙O上，⊙E交⊙O于A、B两点，⊙O的弦CE所在直线交⊙E于点D、H，CB的延长线交⊙E于点F．
在△ABC中，点D在BC的延长线上，E是AC边中点，DE的延长线交AB于点F．
如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O．
如图是一座古拱桥的截面图，拱桥洞是抛物线形状，其跨度为10m，桥洞与水面的最大距离为4m，将拱桥的横截面放在如图所示的平面直角坐标系中．
如图，△ABC内接于⊙O，D，F分别是$\widehat{AC}$与$\widehat{AB}$上的点，$\widehat{BF}$=$\widehat{DA}$，连接AF并延长交CB的延长线于点E，连接AD，CD，求证：△CDA∽△ABE．