Question

11．如图，在△ABC中，点A，B分别在x轴的正、负半轴上（其中OA＜OB），点C在y轴的正半轴上，AB=10，OC=4，∠ABC=∠ACO．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点D的坐标为（-4，0），P是该抛物线上的一个动点．
①直线DP交直线BC于点E，当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；
②连结CD，CP，若∠PCD=∠CBD，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析
（1）利用△BOC～△C0A得出比例式求出OA，OB，从而得出A（2，0），B（-8，0），再利用两根式求解析式的方法即可求解；
（2）①根据点E在直线BC上，设出点E的坐标，再根据平面坐标系中两点间的距离公式分别求出BE=$\sqrt{{（m+8}^{）2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$，DE=$\sqrt{{（m+4）}^{2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$，BD=4，而△BDE为等腰三角形，分三种情况：BE=BD，BE=DE，BD=DE，再求解方程，从而得到点E的坐标；
②根据∠PCD=∠CBD作出直角三角形，利用平面坐标系中互相垂直的直线的比例系数之积为-1，根据直线CD的解析式为y=x+4，设出直线PF的解析式为y=-x+4，利用锐角的三角函数求出CF=2PF，设出点P的坐标，确定出CF=$\frac{|{\frac{1}{4}m}^{2}+\frac{1}{2}m|}{2}$，PF=$\frac{|{\frac{1}{4}m}^{2}+\frac{5}{2}m|}{2}$，求解绝对值方程即可．

解答 解：（1）设OA=x，则OB=10-x，
∴∠ABC=∠ACO，∠AOC=∠COB，
∴△BOC～△C0A，
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OC}{OA}$，
∴OC²=OA×OB，
∴16=x（10-x），
∴x=8或x=2，
∴A（2，0），B（-8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+8）（x-2）
∴4=（0+8）（0-2），
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x+8）（x-2）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4．
（2）
①∵B（-8，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，
设E（m，m+4），且B（-8，0），D（0，4），
∴BE=$\sqrt{{（m+8}^{）2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$，DE=$\sqrt{{（m+4）}^{2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$，BD=4，
∵△BDE为等腰三角形，
Ⅰ、当BE=DE时，有$\sqrt{{（m+8}^{）2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$=$\sqrt{{（m+4）}^{2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$，
∴m=-6，
∴$\frac{1}{2}$m+4=1，
∴E（-6，1），
Ⅱ、当BE=BD时，有$\sqrt{{（m+8}^{）2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$=4，
∴m=$\frac{-40+8\sqrt{5}}{5}$或m=$\frac{-40-8\sqrt{5}}{5}$，
∴E（$\frac{-40+8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），E（$\frac{-40-8\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
Ⅲ、当BD=DE时，有$\sqrt{{（m+4）}^{2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$=4，
∴m=-$\frac{8}{5}$或m=-8（舍）
∴E（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∴E（-6，1），E（$\frac{-40+8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），E（$\frac{-40-8\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），E（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）．
②∵C（0，4），D（-4，0），
∴直线CD的解析式为y=x+4，
作PF⊥CD，设直线PF的解析式为y=-x+b，
∴F（$\frac{b-4}{2}$，$\frac{b+4}{2}$），
设P（m，-m+b），
∴-m+b=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m+4，
∴b=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+4，
∵P（-m，-m+b），F（$\frac{b-4}{2}$，$\frac{b+4}{2}$），C（0，4），
∴CF=$\sqrt{{（\frac{b-4}{2}）}^{2}+{（\frac{b+4}{2}）}^{2}}$=$\frac{|{\frac{1}{4}m}^{2}+\frac{1}{2}m|}{2}$，
PF=$\sqrt{{（m-\frac{b-4}{2}）}^{2}{+（-m+b+\frac{b+4}{2}）}^{2}}$=$\frac{|{\frac{1}{4}m}^{2}+\frac{5}{2}m|}{2}$，
∵tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，∠CBD=∠PCF，
∴tan∠PCF=$\frac{PF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2PF，
∴$\frac{|{\frac{1}{4}m}^{2}+\frac{1}{2}m|}{2}$=2×$\frac{|{\frac{1}{4}m}^{2}+\frac{5}{2}m|}{2}$，
∴m=-$\frac{22}{3}$或m=-18，
∴b=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+4=-$\frac{52}{9}$或b=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+4=-68，
∴P（-$\frac{22}{3}$，$\frac{14}{9}$）或P（-18，-50）．

点评 本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有，平面坐标系中两点间的距离公式，如BE=$\sqrt{{（m+8}^{）2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$，DE=$\sqrt{{（m+4）}^{2}{+（\frac{1}{2}m+4）}^{2}}$，BD=4，相似矩形的判定和性质，求解方程，解题的关键是利用平面坐标系中两点间的距离公式和作出辅助线．