Question

12．在等腰△ABC中，∠ABC=∠C=40°，延长AB至点D，使AD=BC，求∠BCD的度数．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出∠BAC的度数，再以BC为一边在△ABC外作等边△BCE，连接AE，证△ABE和△ACE全等，得到∠CEA=∠BEA=30°，再证△ACE和△CAD全等，推出∠D的度数，根据三角形的内角和定理求出∠ACD，即可求出答案．

解答 解：如图所示，∵在等腰△ABC中，∠ABC=∠C=40°，
∴∠BAC=180°-40°-40°=100°．
以BC为一边在△ABC外作等边△BCE，连接AE，
∴BE=CE=BC，∠BEC=∠BCE=60°，
在△ABE与△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ AE=AE\\ BE=CE\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∴∠CEA=∠BEA=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠BAC=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠ACE=∠CAD=100°，
在△ACE与△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AD=CE\\∠ACE=∠CAD\\ AC=AC\end{array}\right.$
∴△ACE≌△CAD（SAS），
∴∠D=∠CEA=30°，
在△ACD中，∠ACD=180°-∠D-∠A=50°，
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=10°．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，作辅助线和证两个三角形全等是解此题的关键．难点是辅助线的作法．