Question

7．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边与直线l重合，沿AB边的中垂线将正方形剪开，剪开后的右侧部分以B为中心，顺时针旋转90°，得到以BP₁为边的新矩形，我们称之为第1次操作；沿BP₁边的中垂线将矩形剪开，再将剪开后的右侧部分以点P₁为中心，顺时针旋转90°，得到以P₁P₂为边的正方形，我们称之为第2次操作…按此规律继续操作下去，AP₂₀₁₆的长为AP₂₀₁₆=$\frac{{2}^{1010}-3}{{2}^{1008}}$．

Answer 1

分析 根据旋转的性质和矩形的性质易得AB=1，BP₁=1，P₁P₂=$\frac{1}{2}$，P₂P₃=$\frac{1}{2}$，P₃P₄=（$\frac{1}{2}$）²，P₄P₅=（$\frac{1}{2}$）²，P₅P₆=（$\frac{1}{2}$）³，P₆P₇=（$\frac{1}{2}$）³，…P₂₀₁₃P₂₀₁₄=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₄P₂₀₁₅=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₅P₂₀₁₆=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁸，进一步利用方程思想求得答案即可．

解答 解：AB=1，BP₁=1，
P₁P₂=$\frac{1}{2}$，P₂P₃=$\frac{1}{2}$，
P₃P₄=（$\frac{1}{2}$）²，P₄P₅=（$\frac{1}{2}$）²，
P₅P₆=（$\frac{1}{2}$）³，P₆P₇=（$\frac{1}{2}$）³，
…
P₂₀₁₃P₂₀₁₄=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₄P₂₀₁₅=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₅P₂₀₁₆=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁸，
所以AP₂₀₁₆=2×1+2[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷]+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁸
=3+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶]+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁸
设$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁸=S，
则1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁵+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷=2S，
所以S=1-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁸，
所以AP₂₀₁₆=3+1-$\frac{3}{{2}^{1008}}$=$\frac{{2}^{1010}-3}{{2}^{1008}}$．
故答案为：AP₂₀₁₆=$\frac{{2}^{1010}-3}{{2}^{1008}}$．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，求得对应线段的长度，找出计算规律，进一步方程的思想解决问题．