Question

4．若x₁，x₂是方程x²+2x-10=0的两个根，求：
（1）x₁²+x₂²；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；
（3）（x₁-5）（x₂-5）；
（4）|x₁-x₂|

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2，x₁x₂=-10，再进行代数式变形，
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
（3）（x₁-5）（x₂-5）=x₁x₂-5（x₁+x₂）+25；
（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$；
然后分别利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²+2x-10=0的两个根，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-10，
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=24；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{5}$；
（3）（x₁-5）（x₂-5）=x₁x₂-5（x₁+x₂）+25=25；
（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．