Question

18．如图，平面直角坐标系中，一直线l分别交x轴、y轴于点B，C，过点C作直线l的垂线交x轴于点A．若点A的坐标为（2，0）且AC=4，则在直线l上是否存在点P，使△PAB与△BOC相似？若存在，请求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 分类讨论：①△PAB∽△OCB，②△PAB∽△COB，①根据勾股定理，可得答案；
②根据相似三角形的性质，可得OB的长，根据待定系数，可得BC的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：存在点P，使△PAB与△BOC相似，
①当∠B=∠B，∠PAB=∠OCB时，△PAB∽△OCB，如图1，
由OA=2，AC=4，
解得OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
即P₁（0，2$\sqrt{3}$）；
②当∠PAB=∠COB时，△PAB∽△COB，如图2，
由△OBC∽△OCA，得$\frac{BO}{OC}$=$\frac{OC}{OA}$，
BO=$\frac{O{C}^{2}}{OA}$=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}}{2}$=6，
B（-6，0），C（0，2$\sqrt{3}$），设BC的解析式为y=kx+b，
将B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
BC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
当x=2时，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
P₂（2，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），
综上所述：P₁（0，2$\sqrt{3}$），P₂（2，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用相似三角形的性质得出OB的长是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系，分类讨论是解题关键，以防遗漏．