Question

8．已知一次函数y=-2x+b的图象过点（2，1），
（1）求一次函数解析式，并判断点P（1，3）是否在该函数的图象上？
（2）作出该函数图象，观察图象直接回答：x取何值时，-2x+b＜0？x取何值时，-2x+b＞3？
（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△OPQ的面积等于6？若存在请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（2，1）代入y=-2x+b求出b即可得到一次函数解析式；然后判断点P是否在该函数的图象上；
（2）先画出一次函数图象，然后观察图象，找出图象在x轴下方所对应的自变量的取值范围和函数值大于3的x的取值范围即可；
（3）分类讨论：Q在x轴上，设Q（t，0），根据三角形面积公式得到∴$\frac{1}{2}$•|t|•3=6；当Q在y轴上，设Q（0，m），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•|m|•1=6，然后分别解关于t和m的绝对值方程求出t和m的值，从而可确定Q点的坐标．

解答 解：（1）把（2，1）代入y=-2x+b得-2×2+b=1，解得b=5，
所以一次函数解析式为y=-2x+5，
当x=1时，y=-2x+5=-2+5=3，
所以点P（1，3）在该函数的图象上；
（2）如图，直线y=-2x+5与x轴的交点坐标为（2.5，0），

当x＞2.5时，-2x+b＜0；当x＜1，-2x+b＞3；
（3）存在．
当Q在x轴上，设Q（t，0），
∵△OPQ的面积等于6，
∴$\frac{1}{2}$•|t|•3=6，解得t=±4，
∴此时Q点坐标为（4，0）或（-4，0）；
当Q在y轴上，设Q（0，m），
∵△OPQ的面积等于6，
∴$\frac{1}{2}$•|m|•1=6，解得t=±12，
∴此时Q点坐标为（0，12）或（0，12）；
综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（-4，0）或（0，12）或（0，12）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了一次函数图象和三角形面积公式．