Question

6．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先计算出OC=6，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1+∠2+∠A=180°，∠1+∠3+∠POD=180°，利用等量代换可得∠2=∠3，然后根据“AAS”判断△AOP≌△CDO，则AP=CO=6．

解答 解：如图，

∵AC=9，AO=3，
∴OC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点D逆时针旋转60゜得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，
∴OD=OP，∠POD=60°，
∵∠1+∠2+∠A=180°，∠1+∠3+∠POD=180°，
∴∠1+∠2=120°，∠1+∠3=120°，
∴∠2=∠3，
在△AOP和△CDO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠2=∠3}\\{OP=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△CDO，
∴AP=CO=6，
故选：C．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．