如图①.矩形OABC中.A.D.射线l过点D且与x轴平行.点P.Q分别是l和x轴正半轴上动点.满足∠PQO=60°．(1)点B的坐标是,∠CAO═30度,(2)如图②.当点Q与点A重合时.PO.PQ分别交BC于点E.F.求此时四边形OEFQ的面积,(3)若OA的中点为N.线段PQ与线段AC相交于点M.是否存在点P.使△MNA为等腰三角形?若存在.请直接写出线段DP的长,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图①，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2$\sqrt{3}$），D（0，3$\sqrt{3}$），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）点B的坐标是（6，2$\sqrt{3}$）；∠CAO═30度；（直接填空）
（2）如图②，当点Q与点A重合时，PO、PQ分别交BC于点E、F，求此时四边形OEFQ的面积；
（3）若OA的中点为N，线段PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△MNA为等腰三角形？若存在，请直接写出线段DP的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；由正切函数，即可求得∠CAO的度数；
（2）求出△POA的面积，证明△PEF∽△POA，由对应高的比等于相似比得出相似比，求出面积比，即可得出四边形的面积；
（3）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，OA∥BC，
∵A（6，0）、C（0，2$\sqrt{3}$），
∴点B的坐标为：（6，2$\sqrt{3}$）；
故答案为：（6，2$\sqrt{3}$）；30°；
②∵tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAO=30°
故答案为：（6，2$\sqrt{3}$）；30；
（2）△POA的面积=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∵OA∥BC，
∴△PEF∽△POA，相似比为$\frac{DC}{DO}$=$\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△PWF}}{{S}_{△POA}}$=$\frac{1}{9}$，
∴四边形OEFQ的面积=$\frac{8}{9}$S_△POA=$\frac{8}{9}$×9$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
（3）设DP的长为m，分情况讨论：
①如图2，MN=AN=3时，
则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°，
∵∠PQO=60°，
即∠MQO=60°
∴点N与Q重合，
∴点P与D重合，
∴此时DP=0；
②如图3，AM=AN时，作MJ⊥x轴于J、PI⊥x轴于I；
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA-IQ-OI）•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m）=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{3}{2}$，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m）
解得：m=3-$\sqrt{3}$；
③AM=NM时，此时M的横坐标是4.5，
如图4，过点P作PI⊥OA于I，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴QI=$\frac{PI}{tan60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=3，GQ=$\frac{MG}{tan60°}$=$\frac{1}{2}$，
∴IG=3-0.5=2.5，AG=$\frac{1}{2}$AN=1.5，
∴OI=2，
∴m=2．
综上所述：存在点P，使△MNA为等腰三角形，线段DP的长为0或3-$\sqrt{3}$或2．