Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C的对角线A₁C和OB₁交于点M₁；以M₁A₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M₁，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂；以M₂A₁为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃ M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃；…，依此类推，这样作的第4个正方形对角线交点的坐标为M₄（

 

）；第n个正方形对角线交点的坐标为M_n（

 

）．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：根据正方形的对角线的交点到各边的距离等于边长的一半依次求出点M系列的坐标，然后根据变化规律解答即可．

解答：解：∵正方形OA₁B₁C的边长为1，
∴点M₁（

1

2

，

1

2

），
点M₂的横坐标为1-

1

22

=

3

4

，纵坐标为

1

4

，
点M₂（

3

4

，

1

4

），
点M₃的横坐标为1-

1

23

=

7

8

，纵坐标为

1

8

，
点M₃（

7

8

，

1

8

），
点M₄的横坐标为1-

1

24

=

15

16

，纵坐标为

1

16

，
点M₄（

15

16

，

1

16

），
…，
点M_n（1-

1

2n

，

1

2n

）．
故答案为：（

15

16

，

1

16

），（1-

1

2n

，

1

2n

）．

点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线的交点到各边的距离等于边长的一半的性质，熟记性质并发现点的横坐标与纵坐标的变化规律是解题的关键．