题目内容
1．已知：直线y=x+4与x轴，y轴分别交A、B两点．直线y=kx-2k与x轴、y轴交于点D、E，与线段AB交于点C且C为AB的中点．（1）求k的值；
（2）动点P从点A出发以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿线段AB运动向终点B运动，同时，动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿折线段AOB向终点B运动．设△PQE的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出t的取值）；
（3）在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使tan∠PEQ=$\frac{1}{2}$？
分析 （1）先求得点B的坐标为（0，4，点A的坐标为（-4，0，）从而可求得点C的中点坐标为（-2，2），将（-2，2）代入y=kx-2k可求得k的值；
（2）①如图1所示：过点P作PF⊥OA，垂足为F，依据SPEQ=S△ABO-S△APQ-S△QEO-S△PEB求解即可；②如图2所示，过点P作PF⊥OB，垂足为F．由题意可知PF=4-t，QE=AO+OE-2t=5-2t，然后依据三角形的面积公式可知S△PQE=${t}^{2}-\frac{13}{2}t+10$；③如图3所示：过点P作PF⊥OB，垂足为F．由PF=4-t，QE=2t-5，然后依据三角形的面积公式求解即可；
（3）如图4所示；过点E作EP∥OA，交AB于点P，过点P作PG⊥OA．由直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}x+1$，可知tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，然后证明∠CEP=∠PEQ=∠CDA即可；如图5所示：当点Q在EB上时．过点P作PF⊥EB．由题意可知FB=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}PB$．由tan∠PEF=$\frac{1}{2}$可知EF=2PF，从而得到3BF=BE=3，于是求得BF=1，故此PB=$\sqrt{2}$．AP=3$\sqrt{3}$，从而可求得t=3．
解答 解：（1）∵将x=0代入y=x+4得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4）．
∵将y=0代入y=x+4得：x+4=0，解得：x=-4．
∴点A的坐标为（-4，0）．
∵点C是A、B的中点，
∴点C的中点坐标为（-2，2）．
将（-2，2）代入y=kx-2k得：-2k-2k=2．
解得：k=-$\frac{1}{2}$．
（2）将k=-$\frac{1}{2}$代入y=kx-2k得：y=-$\frac{1}{2}x+1$．
∵将x=0代入得：y=1，
∴点E的坐标为（0，1）．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°．
①如图1所示：过点P作PF⊥OA，垂足为F．
∵∠PAF=45°，
∴PF=AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}t$=t．
∴SPEQ=S△ABO-S△APQ-S△QEO-S△PEB
=$\frac{1}{2}×4×4$-$\frac{1}{2}×2t•t$-$\frac{1}{2}×（4-2t）×1$-$\frac{1}{2}×3×（4-t）$
=-${t}^{2}+\frac{5}{2}t$（0＜t≤2）．
②如图2所示，过点P作PF⊥OB，垂足为F．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵PB=AB-AP，
∴PB=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t．
∴PF=4-t．
由题意可知：QE=AO+OE-2t=5-2t．
∴S△PQE=$\frac{1}{2}×（5-2t）（4-t）$=${t}^{2}-\frac{13}{2}t+10$．（2＜t≤2.5）
③如图3所示：过点P作PF⊥OB，垂足为F．
∵PF=4-t，QE=2t-5．
∴${S}_{△PQE}=\frac{1}{2}×（2t-5）×（4-t）$=$-{t}^{2}+\frac{13}{2}t-10$．（2.5＜t≤4）．
综上所述，S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+\frac{5}{2}t（0＜t≤2）}\\{{t}^{2}-\frac{13}{2}t+10（2＜t≤2.5）}\\{-{t}^{2}+\frac{13}{2}t-10（2.5＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）如图4所示；过点E作EP∥OA，交AB于点P，过点P作PG⊥OA．
∵直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}x+1$，
∴tan∠CDA=$\frac{1}{2}$．
∵EP∥OA，PG∥EO，OE=1，
∴PG=1．
∴AP=$\sqrt{2}$．
∴t=1．
当t=1时，AQ=2t=2．
∴点Q的坐标为（-2，0）．
∴点C与点Q关于EP对称．
∴∠CEP=∠QEP．
∵EP∥AD，
∴∠CEP=∠CDA．
∴∠PEQ=∠CDA．
∴tan∠PEQ=$\frac{1}{2}$．
如图5所示：当点Q在EB上时．过点P作PF⊥EB．
∵∠PBF=45°，∠PFB=90°，
∴FB=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}PB$．
∵tan∠PEF=$\frac{1}{2}$，
∴EF=2PF．
∴EF=2BF．
∴3BF=BE=3．
∴BF=1．
∴PB=$\sqrt{2}$．
∴AP=4$\sqrt{2}-\sqrt{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴t=3$\sqrt{2}$$÷\sqrt{2}$=3．
综上所述，当t=1秒或t=3秒时，tan∠PEQ=$\frac{1}{2}$．
点评 本题主要考查的是一次函数的综合应、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质、待定系数法求一次函数的解析式，依据割补法以及三角形的面积公式求得S与t的函数关系式是解题的关键．
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