Question

11．如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，AC=6cm，对角线AC、BD相交于点O．动点P从点B出发，沿折线BA-AD以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作PQ∥AC交折线BC-CD于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，且MN与AC始终在PQ的同侧．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）求点P在AB边上时PQ的长度（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AC上时，求t的值．
（3）当点P在AB边上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）当正方形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形是六边形时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据△BPQ∽△BAC，对应边成比例得出$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{PQ}{6}$=$\frac{t}{5}$，即可求得PQ=$\frac{6}{5}$t． 
（2）根据勾股定理求得OB，然后分两种情况分别讨论即可求得；
（3）分两种情况，根据图形求得即可；
（4）分别求得当P、Q、M、N四点都在菱形四条边上时和MN经过D点和B点时的t的值，即可求得正方形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形是六边形时t的取值范围．

解答 解：（1）如图①，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC．  
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$．即$\frac{PQ}{6}$=$\frac{t}{5}$．
∴PQ=$\frac{6}{5}$t．     
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=4．
①如图②，当0＜t≤5时，
∵cos∠APN=cos∠ABO，
∴$\frac{PN}{PA}$=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{\frac{6}{5}t}{4}$，
∴t=2．                                                                
②如图③，当5＜t≤10时，
PQ=$\frac{6}{5}$（10-t）．
∵cos∠APN=cos∠ADO，
∴$\frac{PN}{PA}$=$\frac{DO}{AD}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{\frac{6}{5}（10-t）}{t-5}$=$\frac{4}{5}$
∴t=8．                                                               
（3）①如图①，当0＜t≤2时，S=PQ²=（$\frac{6}{5}$t）²=$\frac{36}{25}$t²．                          
②如图④，当2＜t＜5时，设PN、QM与AC分别交于点G、H．则PG=$\frac{4}{5}$（5-t）．
∴S=PQ•PG=$\frac{6}{5}$t•$\frac{4}{5}$（5-t）=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．
（4）如图⑤，

当P、Q、M、N四点都在菱形四条边上时，则$\frac{PN}{BD}$=$\frac{PA}{AB}$，即$\frac{\frac{6}{5}t}{8}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴t=$\frac{20}{7}$，
如图⑥，

当MN经过D点时，则（8-$\frac{6}{5}$t）²+（$\frac{3}{5}$t）²=t²，
∴t=4；
∴当正方形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形是六边形时，$\frac{20}{7}$＜t＜4或6＜t＜$\frac{50}{7}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，分类讨论思想的运用和数形结合思想的运用是解题的关键．