Question

6．已知，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将矩形ABCD折叠，使点C落在直线AB上的点P处，折痕与边AD、BC分别交于E、F．若AP=1，则折痕EF的长为$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明PE=CE，PF=CF；设DE=λ，则AE=4-λ，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ；同理可求CF；进而求出QF；运用勾股定理求出EF，即可解决问题．

解答 解：如图1，过点E作EQ⊥BC于点M；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=4，DC=AB=2；
由题意得：PE=CE，PF=CF；PA=PB=1；
设DE=λ，则AE=4-λ，
由勾股定理得：
CD²+DE²=AE²+AP²=PE²，
即2²+λ²=（4-λ）²+1²，
解得：λ=$\frac{13}{8}$；同理可求CF=$\frac{17}{8}$，
∴QF=$\frac{17}{8}-\frac{13}{8}$=$\frac{1}{2}$；而EQ=CD=2，
∴由勾股定理得：EF²=EQ²+FQ²，
解得：EF=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等知识点来分析、判断、解答．