Question

18．已知实数x、y、z满足$\frac{x}{y+z}$+$\frac{y}{z+x}$+$\frac{z}{x+y}$=1，则$\frac{{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{{z}^{2}}{x+y}$的值是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 利用$\frac{x}{y+z}$+$\frac{y}{z+x}$+$\frac{z}{x+y}$=1分别乘x，y，z再相加求解即可．

解答 解：∵$\frac{x}{y+z}$+$\frac{y}{z+x}$+$\frac{z}{x+y}$=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{yx}{z+x}$+$\frac{zx}{x+y}$=x，$\frac{xy}{y+z}$+$\frac{{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{zy}{x+y}$=y，$\frac{xz}{y+z}$+$\frac{yz}{z+x}$+$\frac{{z}^{2}}{x+y}$=z，
∴$\frac{{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{{z}^{2}}{x+y}$+（$\frac{yx}{z+x}$+$\frac{yz}{z+x}$）+（$\frac{zx}{x+y}$+$\frac{zy}{x+y}$）+（$\frac{xy}{y+z}$+$\frac{xz}{y+z}$）=x+y+z，
∴$\frac{{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{{z}^{2}}{x+y}$+y+z+x=x+y+z，
∴$\frac{{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{{z}^{2}}{x+y}$=0．
故选：B．

点评 本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是利用$\frac{x}{y+z}$+$\frac{y}{z+x}$+$\frac{z}{x+y}$=1，列出$\frac{{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{{z}^{2}}{x+y}$的式子．