Question

9．在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．

Answer 1

分析 （1）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；
（2）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等边三角形，即可证得AG⊥GD，AG=$\sqrt{3}$DG；
（3）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等腰三角形，即可证得DG=AGtan$\frac{α}{2}$．

解答 （1）AG⊥DG，AG=DG，
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BE的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBH=∠GED}\\{∠GHB=∠GDE}\\{BG=EG}\end{array}\right.$
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠DCB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ABH=∠ACD=45°，
在△ABH和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠ACD}\\{BH=CD}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∵∠BAH+∠HAC=90°，
∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，
∴AG⊥GD，AG=GD；

（2）AG⊥GD，AG=$\sqrt{3}$DG；
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BE的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBH=∠GED}\\{∠GHB=∠GDE}\\{BG=EG}\end{array}\right.$
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60°，
∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠ACD=60°，
在△ABH和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠ACD}\\{BH=CD}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=60°；
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，
∴tan∠DAG=tan30°=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AG=$\sqrt{3}$DG．

（3）DG=AGtan$\frac{α}{2}$；
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BE的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBH=∠GED}\\{∠GHB=∠GDE}\\{BG=EG}\end{array}\right.$
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，
∴∠ABC=90°-$\frac{α}{2}$，∠ACD=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABC=∠ACD，
在△ABH和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠ACD}\\{BH=CD}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=α；
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=$\frac{α}{2}$，
∴tan∠DAG=tan$\frac{α}{2}$=$\frac{DG}{AG}$，
∴DG=AGtan$\frac{α}{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形求得的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质以及直角三角函数等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．