Question

2．已知，如图1，AD∥BC，∠A=∠BCD，点E是射线BC上一动点，试回答下列问题：
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，若点E在B、C两点之间时，DM平分∠ADE，DN平分∠CDE，试探索∠NDN与∠B的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下．点E在点C右侧时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由：若不成立，求∠MDN与∠B的比值．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC得∠A+∠B=180°，根据∠A=∠BCD知∠BCD+∠B=180°，得证；
（2）根据AD∥BC、AB∥CD得∠ADC=∠B，由角平分线知∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE、∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，将∠MDE+∠NDE可得；
（3）根据AD∥BC、AB∥CD得∠ADC=∠B，由角平分线知∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE、∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，将∠MDE-∠NDE可得．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠B=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠MDN=$\frac{1}{2}$∠B，
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
又∵∠BCD+∠B=180°，
∴∠ADC=∠B，
∵DM平分∠ADE，DN平分∠EDC，
∴∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE，∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，
∴∠MDE+∠NDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
即∠MDN=$\frac{1}{2}$∠B；
（3）仍然成立，
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
又∵∠BCD+∠B=180°，
∴∠ADC=∠B，
∵DM平分∠ADE，DN平分∠EDC，
∴∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE，∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，
∴∠MDE-∠NDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
即∠MDN=$\frac{1}{2}$∠B．

点评 本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定与性质是基础，将待求角度转化成其他角的和、差是解题关键．