Question

20．小明在参加数学兴趣活动小组时，探究如图甲这一基本图形．
【问题】：如图甲，AB∥CD，试探究∠B、∠E、∠D三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展】：将图甲变为图乙、图丙（其中AB∥CD不变），请你直接写出相应的结论：图乙：∠B+∠E+∠D=360°；图丙：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G．
【应用】：如图丁，运用上面的结论解决问题：AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED的度数．

Answer 1

分析 【问题】过点E作EF∥AB，根据AB∥CD得出AB∥EF∥CD，再由平行线的性质即可得出结论；
【拓展】图乙：过点E作EF∥AB，故可得出AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；图丙中，分别过点E、F、G作EH∥AB，MF∥AB，GN∥CD，则AB∥EH∥MF∥GN∥CD，由此可得出结论；
【应用】过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．根据EG∥AB，FH∥AB可知∠5=∠ABE，∠3=∠1；再根据AB∥CD，EG∥CD，FH∥CD得出∠6=∠CDE，∠4=∠2，由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE可得出结论．

解答 解：【问题】∠E=∠B+∠D．
理由：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠E=∠B+∠D．

【拓展】图乙：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BED+∠D=360°，即∠B+∠E+∠D=360°；
图丙：分别过点E、F、G作EH∥AB，MF∥AB，GN∥CD，
则AB∥EH∥MF∥GN∥CD，
同（1）可得，∠B+∠MFE=∠BEF①，∠MFG+∠D=∠FGD②，
①+②得，∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠DGF，即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G．
故答案为：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G；

【应用】如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1；
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=120°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=$\frac{1}{2}$（∠5+∠6）=$\frac{1}{2}$∠BFD=$\frac{1}{2}$×120°=60°．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．