Question

7．如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜（AB+AC）．

Answer 1

分析 延长AM到D，使MD=AM，连CD，证△ABM≌△DCM得AB=CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之．

解答 证明：如图，延长AM到D，使MD=AM，连CD，

∵AM是BC边上的中线，
∴BM=CM，
在△ABM和△DCM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=CM}\\{∠BMA=∠CMD}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴AB=CD，
在△ACD中，则AD＜AC+CD，
即2AM＜AC+AB，
∴AM＜$\frac{1}{2}$（AB+AC）＜AB+AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．