Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；
（2）由在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；
（3）由在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，即可用∠A表示出∠ABC，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，
∴MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=20°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，
∴∠ABC=∠ACB=55°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，
∴MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=35°；

（3）∠NMB=$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-∠A}{2}$，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，
∴MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．