Question

14．某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地（如图1，已知原来三角形绿化地中道路AB长为16$\sqrt{2}$米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2；
（1）求拐弯点B与C之间的距离；
（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AE⊥BC于E．分别求出BE、EC即可解决问题；
（2）如图2中，连接AO，延长AO交BC于E，连接OC．首先证明AE⊥BC，在Rt△OEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=16$\sqrt{2}$，
∴AE=BE=16，
在Rt△AEC中，tanc=$\frac{AE}{EC}$=2，
∴$\frac{16}{EC}$=2，
∴EC=8，
∴BC=BE+CE=16+8=24．

（2）如图2中，连接AO，延长AO交BC于E，连接OC．

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AE⊥CD，设OA=OC=R，
在Rt△OEC中，∵OE²+EC²=OC²，
∴（16-R）²+8²=R²，
∴R=10，
∴⊙O的半径为10．

点评 本题考查圆的有关知识、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．