Question

如图，CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．

解答：解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵B为

AD

的中点，
∴∠BOD=∠ACD=30°，
∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，
∴∠BOQ=30°+60°=90°．
∵直径CD=10，
∴OB=

1

2

CD=

1

2

×10=5，
∴BQ=

OB2+OQ2

=5

2

，即PA+PB的最小值为5

2

．
故答案为5

2

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．