定义:若三角形三个内角的度数分别是x.y和z.满足x2+y2=z2.则称这个三角形为勾股三角形．(1)根据上述定义.“直角三角形是勾股三角形是真命题还是假命题,(2)已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x.y和z.且xy=2160.求x+y的值,(3)如图.△ABC中.AB=$\sqrt{6}$.BC=2.AC=1+$\sqrt{3}$.求证:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x²+y²=z²，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；
（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如图，△ABC中，AB=$\sqrt{6}$，BC=2，AC=1+$\sqrt{3}$，求证：△ABC是勾股三角形．

分析（1）直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出即可；
（2）利用已知得出等量量关系组成方程组，进而求出x+y的值；
（3）过B作BH⊥AC于H，设AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=$\sqrt{3}$，HC=1，进而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出结论．

解答（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：
∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，
若满足x²+y²=z²，则称这个三角形为勾股三角形，
∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；
（2）解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=180}&{\;}\\{xy=2160}&{\;}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：x+y=102；
（3）证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示：
设AH=x
Rt△ABH中，BH=$\sqrt{6-{x}^{2}}$，
Rt△CBH中，（$\sqrt{6-{x}^{2}}$）²+（1+$\sqrt{3}$-x）²=4，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴AH=BH=$\sqrt{3}$，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC=$\frac{HC}{BH}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴45²+60²=75²
∴△ABC是勾股三角形．