Question

13．已知：△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，GA=CD=1，连接BD，过点A向BD作垂线，交BC于点F，BD于点E，连接CF，求证：∠G=∠D．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M交BD于N．首先证明△ABN≌△CAF，推出AN=CF，再证明△GCF≌△DAN，即可解决问题．

解答 证明：作AM⊥BC于M交BD于N．

∵AB=AC，AM⊥BC，
∴∠ABC=∠MAC=∠ACB=45°，
∵∠FMA=∠FEB=90°，∠AFM=∠BFE，
∴∠FBE=∠FAM，
∴∠NBA=∠FAC，
在△ABN和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAN=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠ABN=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CAF，
∴AN=CF，
∵AG=CD=1，
∴CG=AD，
在△GCF和△DAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=AN}\\{∠GCF=∠DAN}\\{CG=AD}\end{array}\right.$，
∴△GCF≌△DAN，
∴∠G=∠D．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．