题目内容
4．定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边的两倍，则称这个平行四边形为“美丽四边形”，其中这条对角线叫做“美丽对角线”，这条边叫做“美丽边”．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，判断平行四边形ABCD是否为“美丽四边形”；
（2）如图2，四边形ABCD与四边形ACED都是“美丽四边形”，其中BD与AE为“美丽对角线”，CD与DE为“美丽边”，AC与BD相交于点F，AE与CD相交于点G．
①求证：∠BDC=∠EAC；
②若AB=DE，求$\frac{AD}{DE}$的值．
分析 （1）利用勾股定理求出AC的长即可判定；
（2）①如图2中，由∠4=∠5+∠CAE，∠2=∠BDC+∠6，∠5=∠6，只要证明∠2=∠4即可解决问题；
②由题意AB=CD=DE=EG，设CD=DE=EG=4a，则GH=DH=a，CH=3a，求出AD即可解决问题；
解答 解：（1）如图1中，平行四边形ABCD是“美丽四边形”．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，
∴AC=2AB，
∴平行四边形ABCD为“美丽四边形”．
（2）①如图2中，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACED是平行四边形，
∴BF=DF，AG=GE，
∵BD与AE为“美丽对角线”，CD与DE为“美丽边”，
∴DC=DF，ED=EG，
∴∠3=∠4，∠1=∠2，
∵AC∥DE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
∵∠4=∠5+∠CAE，∠2=∠BDC+∠6，∠5=∠6，
∴∠CAE=∠BDC．
②如图3中，作EH⊥CD于H．
由题意AB=CD=DE=EG，设CD=DE=EG=4a，则GH=DH=a，CH=3a，
在Rt△DHE中，EH=$\sqrt{E{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\sqrt{15}$a，
在Rt△CHE中，CE=$\sqrt{C{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}+（\sqrt{15}a）^{2}}$=2$\sqrt{6}$a，
∴AD=CE=2$\sqrt{6}$a，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{2\sqrt{6}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
点评 本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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