Question

19．如图，已知一次函数y=mx+5的图象经过点A（1，4）、B（n，2）．
（1）求m、n的值；
（2）当函数图象在第一象限时，自变量x的取值范围是什么？
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB最短．求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标利用待定系数法可求出m值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出n值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线AB与x轴的交点坐标，观察函数图象，即可得出当函数图象在第一象限时，自变量x的取值范围；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时点P为所求的点，由点A的坐标可得出点A′的坐标，根据点A′、B的坐标利用待定系数法可求出直线A′B的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵一次函数y=mx+5的图象经过点A（1，4），
∴m+5=4，解得：m=-1；
∵点B在一次函数y=-x+5的图象上，
∴-n+5=2，解得：n=3．
∴m、n的值分别是-1、3．
（2）当y=-x+5=0时，x=5，
∴一次函数y=-x+5的图象与x轴的交点坐标为（5，0）．
观察函数图象可知：当0＜x＜5时，一次函数y=-x+5的图象在第一象限，
∴当函数图象在第一象限时，自变量x的取值范围是0＜x＜5．
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时点P为所求的点，如图所示．
∵点A（1，4），
∴A′（1，-4）．
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
将A′（1，-4）、B（3，2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=3x-7．
当y=3x-7=0时，x=$\frac{7}{3}$，
∴点P的坐标为（$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中的最短路线问题，解题的关键是：（1）由点A的坐标利于待定系数法求出直线AB的解析式；（2）利于一次函数图象上点的坐标特征求出直线AB与x轴的交点坐标；（3）根据两点之间线段最短，找出点P的位置．