Question

6．先阅读下列（1）的解答过程，然后再解答第（2）（3）小题．
（1）已知实数a、b满足a²=2-2a，b²=2-2b，且a≠b，求$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$的值．
解：由已知得a²+2a-2=0，b²+2b-2=0，且a≠b，
设a、b是方程x²+2x-2=0 的两个不相等的实数根．
由根与系数的关系得 a+b=-2，ab=-2，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{（-2）^{2}+4}{-2}$=-4
（2）若实数a≠b，且a，b满足a²-8a+5=0，b²-8b+5=0，求代数式$\frac{b-1}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$的值；
（3）已知m²-3m-5=0，5n²+3n-1=0，求m²+$\frac{1}{{n}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （2）结合（1）的过程，设a、b是方程x²-8x+5=0 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系找出a+b=8、ab=5，再将$\frac{b-1}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$变形为$\frac{（a+b）^{2}-2（a+b）-2ab+2}{ab-（a+b）+1}$代入数据即可得出结论；
（3）将方程5n²+3n-1=0变形为$（\frac{1}{n}）^{2}$-3$\frac{1}{n}$-5=0，设m、$\frac{1}{n}$是方程x²-3x-5=0的两个实数根，由根与系数的关系找出m+$\frac{1}{n}$=3、m•$\frac{1}{n}$=-5，再将m²+$\frac{1}{{n}^{2}}$变形为$（m+\frac{1}{n}）^{2}$-2m•$\frac{1}{n}$，代入数据即可得出结论．

解答 解：（2）由已知得a²-8a+5=0，b²-8b+5=0，且a≠b，
设a、b是方程x²-8x+5=0 的两个不相等的实数根．
由根与系数的关系得：a+b=8，ab=5，
∴$\frac{b-1}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$=$\frac{（b-1）^{2}+（a-1）^{2}}{（a-1）（b-1）}$=$\frac{（a+b）^{2}-2（a+b）-2ab+2}{ab-（a+b）+1}$=-20．
（3）∵5n²+3n-1=0，
∴5+3$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=0，即$（\frac{1}{n}）^{2}$-3$\frac{1}{n}$-5=0．
∵m²-3m-5=0，
设m、$\frac{1}{n}$是方程x²-3x-5=0的两个实数根，
由根与系数的关系得：m+$\frac{1}{n}$=3，m•$\frac{1}{n}$=-5，
∴m²+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$（m+\frac{1}{n}）^{2}$-2m•$\frac{1}{n}$=19．

点评 本题考查了根与系数的关系，巧妙的找出a、b（m、$\frac{1}{n}$）是某方程的两个根是解题的关键．