Question

7．如图1，在△ABC中，点D为边AC上一点，且∠DBC=∠BAC．
（1）求证：BC²=CD•AC；
（2）如图2，点E、G分别是BC，DC边上一点，连接AE交BD于点F，连接EG，且∠BDC+∠AEG=180°，
①若点E为BC中点，$\frac{EG}{EF}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，求$\frac{AB}{BC}$的值；
②若$\frac{BE}{CE}=\frac{1}{n}$，$\frac{EG}{EF}=\frac{1}{k}$，求$\frac{AB}{BC}$的值（用含n，k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）只要证明△CBD∽△CAB即可解决问题；
（2）如图2中，连接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．首先证明△EMF∽△ENG，推出$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\sqrt{5}$，由BE=EC，推出S_△BED=S_△ECD，推出$\frac{1}{2}$•BD•EM=$\frac{1}{2}$•DC•EN，推出$\frac{BD}{DC}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由△CBD∽△CAB，可得$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，推出$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$，由此即可解决问题．
（3）如图3中，连接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．首先证明△EMF∽△ENG，推出$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=k，由BE=nEC，推出S_△BED=nS_△ECD，推出$\frac{1}{2}$•BD•EM=$\frac{1}{2}$•DC•EN，推出$\frac{BD}{DC}$=n•$\frac{EN}{EM}$=$\frac{n}{k}$，由△CBD∽△CAB，可得$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，推出$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠C=∠C，∠DBC=∠BAC，
∴△CBD∽△CAB，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴BC²=CD•AC．

（2）解：如图2中，连接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．

在四边形DFEG中，∵∠FDG+∠FEG=180°，
∴∠DFE+∠DGE=180°，∵∠EFM+∠DFE=180°，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EMF=∠ENG=90°，
∴△EMF∽△ENG，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\sqrt{5}$，
∵BE=EC，
∴S_△BED=S_△ECD，
∴$\frac{1}{2}$•BD•EM=$\frac{1}{2}$•DC•EN，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△CBD∽△CAB，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

（3）如图3中，连接DE，作EM⊥BD于M，EN⊥CD于N．

在四边形DFEG中，∵∠FDG+∠FEG=180°，
∴∠DFE+∠DGE=180°，∵∠EFM+∠DFE=180°，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EMF=∠ENG=90°，
∴△EMF∽△ENG，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=K
∵BE=nEC，
∴S_△BED=nS_△ECD，
∴$\frac{1}{2}$•BD•EM=n$\frac{1}{2}$•DC•EN，
∴$\frac{BD}{DC}$=n•$\frac{EN}{EM}$=$\frac{n}{k}$
∵△CBD∽△CAB，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{n}{k}$．

点评 本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的首先思考问题，属于中考压轴题．