Question

12．如图，点C，D在线段AB上，P是直线AB外一点，连接PA，PB，PC，PD．已知△PCD是等边三角形，如果CD²=AC•DB，求∠APB的度数．

Answer 1

分析 由△PCD是等边三角形，得到∠PCD=∠PDC=60°，根据邻补角的定义得到∠ACP=∠PDB=120°，若CD²=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即$\frac{PC}{BD}=\frac{AC}{PD}$，推出△ACP∽△PDB，得到∠APC=∠PBD，由于∠PDB=120°，于是得到∠DPB+∠DBP=60°，求得∠APC+∠BPD=60°，即可得到结论．

解答 解：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD²=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即$\frac{PC}{BD}=\frac{AC}{PD}$，
∴△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠PBD，
∵∠PDB=120°，
∴∠DPB+∠DBP=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．