Question

2．如图，边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C点）．将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有①③⑤（写出所有正确结论的序号）．
①∠NAP=45°；
②当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
③四边形AMCB的面积最大值为10；
④线段AM的最小值为2$\sqrt{5}$；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 ①正确，先判断出Rt△APE≌Rt△APB，即可得出结论；
②错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
③正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
④错误，作MG⊥AB于G，因为AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，列出关于PB的方程即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，AD=AB，
由折叠知，∠DAN=∠EAN，∠AEN=∠ADN=90°，AE=AD
∴AE=AB，
在Rt△APE和Rt△APB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△APE≌Rt△APB，
∴∠EAP=∠BAP，
∵∠DAN=∠EAN，∠BAD=90°，
∴∠PAN=45°，
故①正确，

当PB=PC=PE=2时，
由折叠知，ND=NE，
设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+2）²=（4-y）²+2²解得y=$\frac{4}{3}$，
∴NE≠EP，故②错误，

设PB=x，则CP=4-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴$\frac{PB}{CM}=\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{1}{4}$x（4-x），
∴S_{四边形AMCB}=$\frac{1}{2}$[4+$\frac{1}{4}$x（4-x）]×4=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故③正确，

作MG⊥AB于G，
∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-$\frac{1}{4}$x（4-x）=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，
∴x=2时，AG最小值=3，
∴AM的最小值=$\sqrt{16+9}$=5，故④错误．

∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK，AK=PK=$\sqrt{2}$PB，
∴PB+$\sqrt{2}$PB=4，
∴PB=4$\sqrt{2}$-4，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．

点评 此题是四边形综合题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．