Question

7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，动点P从点B出发沿BC方向以每秒5个单位的速度向终点C运动，过点P作PE⊥AB于点E，过点P作PF∥BA，交AC于点F，设点P运动的时间为t秒．若以PE所在的直线为对称轴，线段BD经轴对称变换后的图形为B'D'，求当线段B'D'与线段AC有交点这段过程中，线段B'D'扫过的面积$\frac{66}{25}$．

Answer 1

分析 由题意点B′在射线BA上，D′在过D垂直PF的直线上，易知当线段B'D'与线段AC有交点这段过程中，线段B'D'扫过的图形是图中平行四边形AD′D″B″．求出D′D″，高DN，即可解决问题．

解答 解：由题意点B′在射线BA上，D′在过D垂直PF的直线上，

易知当线段B'D'与线段AC有交点这段过程中，线段B'D'扫过的图形是图中平行四边形AD′D″B″．
作D′M⊥AB于M，DN⊥AB于N，
在等腰梯形ABDD′中，易知四边形MNDD′是矩形，BN=AM=$\frac{9}{5}$，MN=DD′=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$，DN=$\frac{12}{5}$，
∵BD=DC，DD″∥AB，
∴AD″=D″C，
在Rt△ADC中，DD″=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴D′D″=DD″-DD′=$\frac{5}{2}$-$\frac{7}{5}$=$\frac{11}{10}$，
∴当线段B'D'与线段AC有交点这段过程中，线段B'D'扫过的面积=$\frac{11}{10}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{66}{25}$，
故答案为$\frac{66}{25}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、轴对称变换、勾股定理、轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考填空题中的压轴题．