Question

16．如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，∠ADE=60°，∠BCE=120°，CE、DE交于E；
（1）当D在BC边上时，求证：△ADE为等边三角形；
（2）当D在BC的延长线时，（1）中的结论是否仍成立，请画出图形，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠ADE=∠ACE=60°，然后判断出点A、C、D、E四点共圆，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠AED=60°，然后判断出△ADE是等边三角形．
（2）利用A、C、D、E四点共圆和在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等进行解答即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，∠BCE=120°，
∴∠ADE=∠ACE=60°，
∴点A、C、D、E四点共圆，
∴∠ACB=∠AED=60°，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
（2）△ADE是等边三角形，理由如下：
：∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，∠BCE=120°，
∴∠ADE=∠ACE=60°，
∴点A、C、D、E四点共圆，
∴∠ACB=∠AED=60°，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，利用四点共圆求解是关键．