Question

8．若关于x的一元二次方程x²-3x+1-m=0的两个实数根分别为x₁、x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁²+x₂²+4x₁x₂=13，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知关于x的一元二次方程x²-3x+1-m=0的两个实数根分别为x₁、x₂，根据方程根的判别式求出m的范围；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-3，x₁•x₂=m-1，再利用已知条件得到-6+m-1+10=0，然后解一次方程即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-3x+1-m=0的两个实数根分别为x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-3）²-4（1-m）≥0，
∴m≥-$\frac{5}{4}$；

（2）根据题意得：
x₁+x₂=3，x₁•x₂=1-m，
∵x₁²+x₂²+4x₁x₂=13，
∴（x₁+x₂）²+2x₁x₂=13，
∴9+2（1-m）=13，
∴m=-1，符合题意．
故m的值为-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．